شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | دایره](https://dl2.my-dars.com/upload/image/031744018093.jpg)
دایره مکان هندسی نقاطی از صفحه است که از یک نقطه ثابت به نام مرکز به فاصله ثابت (شعاع) هستند.
معادله دایره ای که مرکزش نقطه \(O\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}\alpha \\\beta \end{array}} \right]\) و شعاع آن برابر R باشد از فرمول زیر به دست می آید:
\({\left( {x - \alpha } \right)^2} + {\left( {y - \beta } \right)^2} = {R^2}\)
مثال
معادله دایره ای را بنویسید که مرکز آن نقطه \(O\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right]\) بوده و \(A\left( {3, - 1} \right)\) نقطه ای از آن باشد.
\(\begin{array}{l}R = OA = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} \\\\ \Rightarrow \sqrt {4 + 9} = \sqrt {13} \\\\{\left( {x - \alpha } \right)^2} + {\left( {y - \beta } \right)^2} = {R^2}\\\\ \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 13\end{array}\)
اگر معادله استاندارد دایره را باز کنیم معادله ضمنی یا گسترده دایره به صورت زیر خواهد بود:
\({x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0\)
که در آن:
شعاع: \(R = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} - 4c}}{4}} \)
مختصات مرکز: \(O = \left( { - \frac{a}{2}\;,\; - \frac{b}{2}} \right)\)
1 مرکز و شعاع دایره \({x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 7 = 0\) را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}a = - 4\;\;,\;\;b = - 4\;\;,\;\;c = 7\\\\O\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{a}{2} = - \frac{{ - 4}}{2} = 2}\\{ - \frac{b}{2} = - \frac{{ - 4}}{2} = 2}\end{array}} \right] \Rightarrow O\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\2\end{array}} \right]\\\\\\R = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} - 4c}}{4}} = \sqrt {\frac{{16 + 16 - 28}}{4}} \\\\ \Rightarrow R = \sqrt {\frac{4}{4}} = 1\end{array}\)
2 مکان هندسی نقاطی مانند \(M\left( {x\;,\;y} \right)\) را پیدا کنید که فاصله آنها از نقطه \(A\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2\\4\end{array}} \right]\) ، \(\sqrt 2 \) برابر فاصله آنها از نقطه \(B\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\2\end{array}} \right]\) باشد.
\(\begin{array}{l}AM = \sqrt 2 BM\\\\\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} = \sqrt 2 \times \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \\\\ \Rightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 2\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \right]\\\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 10 \Rightarrow {\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2}\end{array}\)
مکان مطلوب، دایره ای به مرکز مبدا مختصات و به شعاع \(\sqrt {10} \) است.
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
